1:) What is the unit digit in the product (3^65 x 6^59 x 7^71)? | (3^65 x 6^59 x 7^71) లబ్దంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ఏది? [SSC CGL | 2018]
A:) 1 | 1
B:) 2 | 2
C:) 4 | 4
D:) 6 | 6
Correct Answer: C
Explanation: 📣 Unit digit of 3^65: 65/4 leaves remainder 1, so 3^1 = 3.
📣 Unit digit of 6^59: always 6.
📣 Unit digit of 7^71: 71/4 leaves remainder 3, so 7^3 ends in 3.
📣 Product of unit digits: 3 x 6 x 3 = 54. So, unit digit is 4.
📣 3^65 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె: 65/4 శేషం 1, కాబట్టి 3^1 = 3.
📣 6^59 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె: ఎల్లప్పుడూ 6.
📣 7^71 యొక్క ఒకట్ల స్థాన అంకె: 71/4 శేషం 3, కాబట్టి 7^3 ఒకట్ల స్థానం 3.
📣 ఒకట్ల స్థానాల లబ్దం: 3 x 6 x 3 = 54. కాబట్టి, ఒకట్ల స్థాన అంకె 4.
:hint:

2:) Find the number of trailing zeros in 100! | 100! లో చివర ఉండే సున్నాల సంఖ్యను కనుగొనండి [RRB NTPC | 2016]
A:) 24 | 24
B:) 25 | 25
C:) 21 | 21
D:) 22 | 22
Correct Answer: A
Explanation: 📣 Number of zeros = (100/5) + (100/25)
📣 = 20 + 4 = 24.
📣 The power of 5 in 100! determines the number of trailing zeros.
📣 So there are 24 trailing zeros in 100!.
📣 సున్నాల సంఖ్య = (100/5) + (100/25)
📣 = 20 + 4 = 24.
📣 100! లో 5 యొక్క ఘాతం ఆధారంగా చివర వచ్చే సున్నాల సంఖ్యను నిర్ణయిస్తారు.
📣 కాబట్టి 100! లో చివర 24 సున్నాలు ఉంటాయి.
:hint:

3:) If a number is divisible by both 11 and 13, then it must be necessarily divisible by: | ఒక సంఖ్య 11 మరియు 13 రెండింటి చేత భాగించబడితే, ఆ సంఖ్య ఖచ్చితంగా దేని చేత భాగించబడుతుంది? [SSC CHSL | 2019]
A:) (11 + 13) | (11 + 13)
B:) (13 – 11) | (13 – 11)
C:) (11 x 13) | (11 x 13)
D:) 429 | 429
Correct Answer: C
Explanation: 📣 Since 11 and 13 are co-prime numbers.
📣 Any number divisible by two co-prime numbers is also divisible by their product.
📣 Therefore, the number must be divisible by (11 x 13).
📣 This is a fundamental property of co-primes.
📣 11 మరియు 13 పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.
📣 రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలచే భాగించబడే ఏ సంఖ్య అయినా వాటి లబ్దం చేత కూడా భాగించబడుతుంది.
📣 అందువల్ల, ఆ సంఖ్య (11 x 13) చేత ఖచ్చితంగా భాగించబడుతుంది.
📣 ఇది పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల ప్రాథమిక లక్షణం.
:hint:

4:) What is the least number which when divided by 5, 6, 7 and 8 leaves a remainder 3, but when divided by 9 leaves no remainder? | 5, 6, 7 మరియు 8 లచే భాగించినప్పుడు శేషం 3 వస్తూ, 9 చే భాగించినప్పుడు శేషం సున్నా వచ్చే కనిష్ట సంఖ్య ఏది? [UPSC CSAT | 2020]
A:) 1683 | 1683
B:) 1673 | 1673
C:) 3363 | 3363
D:) 2523 | 2523
Correct Answer: A
Explanation: 📣 LCM of 5, 6, 7, 8 is 840.
📣 The number is of the form 840k + 3.
📣 For k=2, number = 1680 + 3 = 1683.
📣 1683 is divisible by 9 (sum of digits = 18).
📣 5, 6, 7, 8 ల క.సా.గు 840.
📣 ఆ సంఖ్య 840k + 3 రూపంలో ఉంటుంది.
📣 k=2 అయినప్పుడు, సంఖ్య = 1680 + 3 = 1683.
📣 1683 సంఖ్య 9 చేత నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది (అంకెల మొత్తం = 18).
:hint:

5:) The sum of two numbers is 37 and the difference of their squares is 185. Find the difference between the two numbers. | రెండు సంఖ్యల మొత్తం 37 మరియు వాటి వర్గాల భేదం 185. ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య భేదం కనుగొనండి. [SSC CGL | 2017]
A:) 10 | 10
B:) 5 | 5
C:) 4 | 4
D:) 3 | 3
Correct Answer: B
Explanation: 📣 Let the numbers be x and y. x + y = 37.
📣 x^2 – y^2 = 185.
📣 (x + y)(x – y) = 185.
📣 37 * (x – y) = 185 => x – y = 5.
📣 సంఖ్యలను x మరియు y అనుకుందాం. x + y = 37.
📣 x^2 – y^2 = 185.
📣 (x + y)(x – y) = 185.
📣 37 * (x – y) = 185 => x – y = 5.
:hint:

6:) Which of the following is a prime number? | కింది వాటిలో ప్రధాన సంఖ్య ఏది? [Bank PO | 2018]
A:) 161 | 161
B:) 221 | 221
C:) 373 | 373
D:) 437 | 437
Correct Answer: C
Explanation: 📣 161 is divisible by 7 (7 x 23).
📣 221 is divisible by 13 (13 x 17).
📣 437 is divisible by 19 (19 x 23).
📣 373 is not divisible by any prime less than √373 (~19.3), so it is prime.
📣 161 సంఖ్య 7 చేత భాగించబడుతుంది (7 x 23).
📣 221 సంఖ్య 13 చేత భాగించబడుతుంది (13 x 17).
📣 437 సంఖ్య 19 చేత భాగించబడుతుంది (19 x 23).
📣 373 అనేది √373 (~19.3) కంటే తక్కువ ఉన్న ఏ ప్రధాన సంఖ్య చేత భాగించబడదు, కాబట్టి ఇది ప్రధాన సంఖ్య.
:hint:

7:) If the sum of the digits of a three digit number is subtracted from the number, the resulting number is always divisible by: | ఒక మూడంకెల సంఖ్య నుండి దాని అంకెల మొత్తాన్ని తీసివేస్తే, వచ్చే సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ దేని చేత భాగించబడుతుంది? [SSC MTS | 2021]
A:) 6 | 6
B:) 9 | 9
C:) 11 | 11
D:) 13 | 13
Correct Answer: B
Explanation: 📣 Let the number be 100x + 10y + z.
📣 Sum of digits = x + y + z.
📣 Difference = (100x + 10y + z) – (x + y + z) = 99x + 9y.
📣 9(11x + y), which is a multiple of 9.
📣 సంఖ్యను 100x + 10y + z అనుకుందాం.
📣 అంకెల మొత్తం = x + y + z.
📣 వ్యత్యాసం = (100x + 10y + z) – (x + y + z) = 99x + 9y.
📣 9(11x + y), కాబట్టి ఇది ఎల్లప్పుడూ 9 చేత భాగించబడుతుంది.
:hint:

8:) What is the sum of the first 50 odd natural numbers? | మొదటి 50 బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? [RRB Group D | 2018]
A:) 1000 | 1000
B:) 1250 | 1250
C:) 2500 | 2500
D:) 2600 | 2600
Correct Answer: C
Explanation: 📣 The sum of the first ‘n’ odd natural numbers is n^2.
📣 Here, n = 50.
📣 Sum = 50^2 = 2500.
📣 Hence, the sum is 2500.
📣 మొదటి ‘n’ బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తం n^2 కు సమానం.
📣 ఇక్కడ, n = 50.
📣 మొత్తం = 50^2 = 2500.
📣 కాబట్టి, మొత్తం 2500.
:hint:

9:) The product of two numbers is 120 and the sum of their squares is 289. The sum of the two numbers is: | రెండు సంఖ్యల లబ్దం 120 మరియు వాటి వర్గాల మొత్తం 289. ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? [SSC CPO | 2019]
A:) 20 | 20
B:) 23 | 23
C:) 169 | 169
D:) 13 | 13
Correct Answer: B
Explanation: 📣 Let numbers be x and y. xy = 120, x^2 + y^2 = 289.
📣 (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy.
📣 (x + y)^2 = 289 + 2(120) = 289 + 240 = 529.
📣 x + y = √529 = 23.
📣 సంఖ్యలు x మరియు y అనుకుందాం. xy = 120, x^2 + y^2 = 289.
📣 (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy.
📣 (x + y)^2 = 289 + 2(120) = 289 + 240 = 529.
📣 x + y = √529 = 23.
:hint:

10:) The difference between the local value and the face value of 7 in the numeral 32675149 is: | 32675149 సంఖ్యలో 7 యొక్క స్థాన విలువ మరియు ముఖ విలువ మధ్య గల భేదం ఎంత? [RRB ALP | 2018]
A:) 75142 | 75142
B:) 64851 | 64851
C:) 69993 | 69993
D:) 5149 | 5149
Correct Answer: C
Explanation: 📣 The place value (local value) of 7 in 32675149 is 70000.
📣 The face value of 7 is 7.
📣 Difference = 70000 – 7 = 69993.
📣 Therefore, the required difference is 69993.
📣 32675149 సంఖ్యలో 7 యొక్క స్థాన విలువ 70000.
📣 7 యొక్క ముఖ విలువ 7.
📣 భేదం = 70000 – 7 = 69993.
📣 కాబట్టి, కావలసిన భేదం 69993.
:hint:

11:) A number when divided by 899 gives a remainder 63. If the same number is divided by 29, the remainder will be: | ఒక సంఖ్యను 899 చేత భాగించినప్పుడు 63 శేషం వస్తుంది. అదే సంఖ్యను 29 చేత భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత? [SSC CGL | 2020]
A:) 10 | 10
B:) 5 | 5
C:) 4 | 4
D:) 2 | 2
Correct Answer: B
Explanation: 📣 The first divisor 899 is completely divisible by the second divisor 29 (899 / 29 = 31).
📣 Therefore, to find the new remainder, we just divide the first remainder by 29.
📣 63 / 29 = 2 with a remainder of 5.
📣 So, the required remainder is 5.
📣 మొదటి భాజకం 899 అనేది రెండవ భాజకం 29 చేత పూర్తిగా భాగించబడుతుంది (899 / 29 = 31).
📣 కాబట్టి, కొత్త శేషం కనుగొనడానికి, మొదటి శేషాన్ని 29 చేత భాగిస్తే సరిపోతుంది.
📣 63 / 29, భాగించగా వచ్చే శేషం 5.
📣 కాబట్టి కావలసిన శేషం 5.
:hint:

12:) Which of the following numbers is divisible by 24? | కింది వాటిలో 24 చేత నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్య ఏది? [RRB NTPC | 2021]
A:) 35718 | 35718
B:) 63810 | 63810
C:) 537804 | 537804
D:) 3125736 | 3125736
Correct Answer: D
Explanation: 📣 A number is divisible by 24 if it is divisible by both 3 and 8.
📣 Option D (3125736): Sum of digits = 27 (divisible by 3).
📣 Last 3 digits = 736 (736/8 = 92, divisible by 8).
📣 So, 3125736 is divisible by 24.
📣 ఒక సంఖ్య 3 మరియు 8 రెండింటి చేత భాగించబడితే అది 24 చేత భాగించబడుతుంది.
📣 ఆప్షన్ D (3125736): అంకెల మొత్తం = 27 (3 చేత భాగించబడుతుంది).
📣 చివరి 3 అంకెలు = 736 (736/8 = 92, 8 చేత భాగించబడుతుంది).
📣 కాబట్టి, 3125736 అనేది 24 చేత భాగించబడుతుంది.
:hint:

13:) The HCF and LCM of two numbers are 12 and 336 respectively. If one of the numbers is 84, the other is: | రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా మరియు క.సా.గు వరుసగా 12 మరియు 336. వాటిలో ఒక సంఖ్య 84 అయితే, రెండవ సంఖ్య ఏది? [SSC CHSL | 2020]
A:) 36 | 36
B:) 48 | 48
C:) 72 | 72
D:) 96 | 96
Correct Answer: B
Explanation: 📣 Formula: Product of two numbers = HCF x LCM.
📣 Let the second number be x.
📣 84 * x = 12 * 336.
📣 x = (12 * 336) / 84 = 336 / 7 = 48.
📣 సూత్రం: రెండు సంఖ్యల లబ్దం = గ.సా.భా x క.సా.గు.
📣 రెండవ సంఖ్యను x అనుకుందాం.
📣 84 * x = 12 * 336.
📣 x = (12 * 336) / 84 = 336 / 7 = 48.
:hint:

14:) What is the sum of all natural numbers between 100 and 200 which are multiples of 3? | 100 మరియు 200 మధ్య ఉన్న, 3 చేత భాగించబడే అన్ని సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? [UPSC CSAT | 2019]
A:) 4950 | 4950
B:) 4980 | 4980
C:) 5000 | 5000
D:) 5040 | 5040
Correct Answer: A
Explanation: 📣 First multiple of 3 after 100 is 102, last multiple before 200 is 198.
📣 Sequence: 102, 105, …, 198. It is an AP with a=102, d=3, l=198.
📣 Number of terms n = [(198 – 102)/3] + 1 = 32 + 1 = 33.
📣 Sum = (n/2) * (a + l) = (33/2) * (102 + 198) = (33/2) * 300 = 4950.
📣 100 తర్వాత 3 చేత భాగించబడే మొదటి సంఖ్య 102, 200 కు ముందున్న చివరి సంఖ్య 198.
📣 శ్రేణి: 102, 105, …, 198. ఇది అంకశ్రేఢి. ఇక్కడ a=102, d=3, l=198.
📣 పదాల సంఖ్య n = [(198 – 102)/3] + 1 = 32 + 1 = 33.
📣 మొత్తం = (n/2) * (a + l) = (33/2) * (102 + 198) = (33/2) * 300 = 4950.
:hint:

15:) A student was asked to multiply a number by 3/2 but he divided that number by 3/2. His result was 10 less than the correct answer. The number was: | ఒక విద్యార్థిని ఒక సంఖ్యను 3/2 తో గుణించమని అడిగారు, కానీ అతను ఆ సంఖ్యను 3/2 తో భాగించాడు. అతని ఫలితం సరైన సమాధానం కంటే 10 తక్కువ వచ్చింది. ఆ సంఖ్య ఏది? [SSC CGL | 2021]
A:) 10 | 10
B:) 12 | 12
C:) 15 | 15
D:) 20 | 20
Correct Answer: B
Explanation: 📣 Let the number be x. Correct result = (3/2)x.
📣 Wrong result = x / (3/2) = (2/3)x.
📣 Difference: (3/2)x – (2/3)x = 10.
📣 (9x – 4x) / 6 = 10 => 5x / 6 = 10 => 5x = 60 => x = 12.
📣 ఆ సంఖ్యను x అనుకుందాం. సరైన ఫలితం = (3/2)x.
📣 తప్పు ఫలితం = x / (3/2) = (2/3)x.
📣 వ్యత్యాసం: (3/2)x – (2/3)x = 10.
📣 (9x – 4x) / 6 = 10 => 5x / 6 = 10 => 5x = 60 => x = 12.
:hint: