material Notes

Q:) What is the sum of the first $50$50 natural numbers? | మొదటి $50$50 సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? [SSC CHSL | 2021]
A:) 1250 | 1250
B:) 1275 | 1275
C:) 1300 | 1300
D:) 1325 | 1325
:Correct: B
:ExpCorrect: 📣 The sum of the first $n$n natural numbers is given by the formula $\frac{n(n+1)}{2}$2n(n+1).
📣 Here, $n = 50$n=50.
📣 Sum $= \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$=250×51=25×51=1275.
📣 మొదటి $n$n సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి సూత్రం $\frac{n(n+1)}{2}$2n(n+1).
📣 ఇక్కడ, $n = 50$n=50.
📣 మొత్తం $= \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275$=250×51=25×51=1275.

Q:) Which of the following numbers is completely divisible by $9$9? | కింది సంఖ్యలలో ఏది $9$9 చేత పూర్తిగా భాగించబడుతుంది? [RRB Group D | 2019]
A:) 456138 | 456138
B:) 543210 | 543210
C:) 876543 | 876543
D:) 987654 | 987654
:Correct: A
:ExpCorrect: 📣 A number is divisible by $9$9 if the sum of its digits is divisible by $9$9.
📣 For option A (456138): $4 + 5 + 6 + 1 + 3 + 8 = 27$4+5+6+1+3+8=27, which is divisible by $9$9.
📣 For option B: Sum is $15$15 (not divisible). Option C: Sum is $33$33 (not divisible). Option D: Sum is $39$39 (not divisible).
📣 ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం $9$9 చేత భాగించబడితే, ఆ సంఖ్య $9$9 చేత పూర్తిగా భాగించబడుతుంది.
📣 ఎంపిక A (456138) కొరకు: అంకెల మొత్తం $4 + 5 + 6 + 1 + 3 + 8 = 27$4+5+6+1+3+8=27. ఇది $9$9 చే భాగించబడుతుంది.
📣 మిగిలిన ఎంపికల అంకెల మొత్తం వరుసగా $15$15, $33$33, $39$39, ఇవి $9$9 చే భాగించబడవు
Q:) How many prime numbers are there between $1$1 and $50$50? | $1$1 మరియు $50$50 మధ్య ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి? [State Police SI | 2020]
A:) 10 | 10
B:) 12 | 12
C:) 15 | 15
D:) 20 | 20
:Correct: C
:ExpCorrect: 📣 A prime number has only two distinct divisors: $1$1 and itself.
📣 The prime numbers between $1$1 and $50$50 are $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43, and $47$47.
📣 Counting them, we get exactly $15$15 prime numbers.
📣 ప్రధాన సంఖ్యకు కేవలం రెండు కారణాంకాలు మాత్రమే ఉంటాయి: $1$1 మరియు అదే సంఖ్య.
📣 $1$1 మరియు $50$50 మధ్య ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలు: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43, మరియు $47$47.
📣 వీటిని లెక్కిస్తే, మొత్తం $15$15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయని తెలుస్తుంది.

Q:) Find the unit digit in the product of $(2467)^{153} \times (341)^{72}$(2467)153×(341)72. | $(2467)^{153} \times (341)^{72}$(2467)153×(341)72 లబ్దంలో ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెను కనుగొనండి. [SSC CGL Tier I | 2022]
A:) 1 | 1
B:) 3 | 3
C:) 7 | 7
D:) 9 | 9
:Correct: C
:ExpCorrect: 📣 The unit digit of $341^{72}$34172 is $1$1, because any power of a number ending in $1$1 is $1$1.
📣 For $2467^{153}$2467153, we only consider the unit digit $7$7. The cyclicity of $7$7 is $4$4.
📣 Dividing the power $153$153 by $4$4 gives a remainder of $1$1. So, $7^1 = 7$71=7.
📣 The unit digit of the product is $7 \times 1 = 7$7×1=7.
📣 $341^{72}$34172 ఒకట్ల స్థానంలో $1$1 వస్తుంది, ఎందుకంటే $1$1 తో ముగిసే సంఖ్యకు ఎంత పవర్ ఉన్నా చివర $1$1 వస్తుంది.
📣 $2467^{153}$2467153 కోసం, మనం $7$7 యొక్క పవర్‌ని మాత్రమే తీసుకుంటాము. $7$7 యొక్క ఆవర్తనం (cyclicity) $4$4.
📣 పవర్ $153$153 ని $4$4 తో భాగిస్తే శేషం $1$1 వస్తుంది. కాబట్టి, $7^1 = 7$71=7.
📣 లబ్దం యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె $7 \times 1 = 7$7×1=7.

Q:) The HCF of two numbers is $11$11 and their LCM is $693$693. If one of the numbers is $77$77, find the other. | రెండు సంఖ్యల గ.సా.భా (HCF) $11$11 మరియు వాటి క.సా.గు (LCM) $693$693. ఆ సంఖ్యలలో ఒకటి $77$77 అయితే, రెండవ సంఖ్యను కనుగొనండి. [IBPS Clerk | 2018]
A:) 66 | 66
B:) 99 | 99
C:) 121 | 121
D:) 143 | 143
:Correct: B
:ExpCorrect: 📣 We know the formula: $\text{First Number} \times \text{Second Number} = \text{HCF} \times \text{LCM}$First Number×Second Number=HCF×LCM.
📣 Let the second number be $x$x.
📣 $77 \times x = 11 \times 693$77×x=11×693.
📣 $x = \frac{11 \times 693}{77} = \frac{693}{7} = 99$x=7711×693=7693=99.
📣 మనకు సూత్రం తెలుసు: మొదటి సంఖ్య $\times$× రెండవ సంఖ్య $= \text{గ.సా.భా} \times \text{క.సా.గు}$=గ.సా.భా×క.సా.గు.
📣 రెండవ సంఖ్యను $x$x అనుకుందాం.
📣 $77 \times x = 11 \times 693$77×x=11×693.
📣 $x = \frac{11 \times 693}{77} = \frac{693}{7} = 99$x=7711×693=7693=99.
Q:) The difference between the local value (place value) and the face value of $7$7 in the numeral $32675149$32675149 is? | $32675149$32675149 సంఖ్యలో $7$7 యొక్క స్థాన విలువ మరియు ముఖ విలువ మధ్య గల వ్యత్యాసం ఎంత? [RRB NTPC | 2021]
A:) 69993 | 69993
B:) 70007 | 70007
C:) 6993 | 6993
D:) 0 | 0
:Correct: A
:ExpCorrect: 📣 In the number $32675149$32675149, the digit $7$7 is in the ten-thousands place.
📣 Therefore, its place value is $70000$70000.
📣 The face value of any digit is the digit itself, so the face value is $7$7.
📣 Difference $= 70000 – 7 = 69993$=70000−7=69993.
📣 $32675149$32675149 సంఖ్యలో, $7$7 అనే అంకె పదివేల స్థానంలో ఉంది.
📣 కాబట్టి, దాని స్థాన విలువ $70000$70000.
📣 ఏదైనా అంకె యొక్క ముఖ విలువ ఆ అంకె మాత్రమే అవుతుంది, కాబట్టి ముఖ విలువ $7$7.
📣 వ్యత్యాసం $= 70000 – 7 = 69993$=70000−7=69993.

Q:) What is the sum of the first $20$20 even natural numbers? | మొదటి $20$20 సరి సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? [TCS NQT | 2023]
A:) 400 | 400
B:) 420 | 420
C:) 440 | 440
D:) 460 | 460
:Correct: B
:ExpCorrect: 📣 The sum of the first $n$n even natural numbers is calculated using the formula $n(n+1)$n(n+1).
📣 Here, the number of terms $n = 20$n=20.
📣 Sum $= 20 \times (20 + 1) = 20 \times 21 = 420$=20×(20+1)=20×21=420.
📣 మొదటి $n$n సరి సహజ సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి $n(n+1)$n(n+1) సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు.
📣 ఇక్కడ, పదాల సంఖ్య $n = 20$n=20.
📣 మొత్తం $= 20 \times (20 + 1) = 20 \times 21 = 420$=20×(20+1)=20×21=420.

Q:) What least value must be assigned to ‘$*$∗’ so that the number $97215*6$97215∗6 is exactly divisible by $11$11? | $97215*6$97215∗6 అనే సంఖ్య $11$11 చేత ఖచ్చితంగా భాగించబడాలంటే ‘$*$∗’ కు ఏ కనీస విలువ ఇవ్వాలి? [SSC MTS | 2020]
A:) 1 | 1
B:) 2 | 2
C:) 3 | 3
D:) 5 | 5
:Correct: C
:ExpCorrect: 📣 A number is divisible by $11$11 if the difference between the sums of alternating digits is $0$0 or a multiple of $11$11.
📣 Sum of digits at odd places: $9 + 2 + 5 + 6 = 22$9+2+5+6=22.
📣 Sum of digits at even places: $7 + 1 + * = 8 + *$7+1+∗=8+∗.
📣 Difference $= 22 – (8 + *) = 14 – *$=22−(8+∗)=14−∗. For this to be divisible by $11$11, $14 – *$14−∗ must equal $11$11, so $* = 3$∗=3.
📣 ఒక సంఖ్య $11$11 చేత భాగించబడాలంటే, దాని సరి మరియు బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తాల వ్యత్యాసం $0$0 లేదా $11$11 యొక్క గుణిజం కావాలి.
📣 బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం: $9 + 2 + 5 + 6 = 22$9+2+5+6=22.
📣 సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం: $7 + 1 + * = 8 + *$7+1+∗=8+∗.
📣 వ్యత్యాసం $= 22 – (8 + *) = 14 – *$=22−(8+∗)=14−∗. ఇది $11$11 చేత భాగించబడాలంటే, వ్యత్యాసం $11$11 కావాలి. కాబట్టి $* = 3$∗=3.

Q:) The difference between the squares of two consecutive odd integers is always divisible by? | వరుసగా వచ్చే రెండు బేసి సంఖ్యల వర్గాల మధ్య వ్యత్యాసం ఎల్లప్పుడూ దేనిచే భాగించబడుతుంది? [UPSC CDS | 2019]
A:) 3 | 3
B:) 6 | 6
C:) 7 | 7
D:) 8 | 8
:Correct: D
:ExpCorrect: 📣 Let the two consecutive odd integers be $(2n-1)$(2n−1) and $(2n+1)$(2n+1).
📣 Difference of their squares $= (2n+1)^2 – (2n-1)^2$=(2n+1)2−(2n−1)2.
📣 Using $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$a2−b2=(a+b)(a−b), we get $(2n+1 + 2n-1)(2n+1 – 2n + 1)$(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1).
📣 $= (4n)(2) = 8n$=(4n)(2)=8n. This shows it is always a multiple of $8$8.
📣 రెండు వరుస బేసి సంఖ్యలను $(2n-1)$(2n−1) మరియు $(2n+1)$(2n+1) అనుకుందాం.
📣 వాటి వర్గాల మధ్య వ్యత్యాసం $= (2n+1)^2 – (2n-1)^2$=(2n+1)2−(2n−1)2.
📣 $a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$a2−b2=(a+b)(a−b) సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తే, $(4n)(2) = 8n$(4n)(2)=8n వస్తుంది.
📣 ఇది ఎల్లప్పుడూ $8$8 చేత గుణించబడుతుంది (భాగించబడుతుంది) అని చూపుతుంది.

Q:) Which of the following fractions is the largest: $\frac{7}{8}, \frac{13}{16}, \frac{31}{40}, \frac{63}{80}$87,1613,4031,8063? | కింది భిన్నాలలో ఏది అతిపెద్దది: $\frac{7}{8}, \frac{13}{16}, \frac{31}{40}, \frac{63}{80}$87,1613,4031,8063? [SBI PO Prelims | 2021]
A:) $\frac{7}{8}$87 | $\frac{7}{8}$87
B:) $\frac{13}{16}$1613 | $\frac{13}{16}$1613
C:) $\frac{31}{40}$4031 | $\frac{31}{40}$4031
D:) $\frac{63}{80}$8063 | $\frac{63}{80}$8063
:Correct: A
:ExpCorrect: 📣 To compare fractions, make the denominators equal by finding their LCM.
📣 The LCM of $8, 16, 40,$8,16,40, and $80$80 is $80$80.
📣 Converting them: $\frac{70}{80}, \frac{65}{80}, \frac{62}{80}, \frac{63}{80}$8070,8065,8062,8063.
📣 The largest numerator is $70$70, meaning $\frac{7}{8}$87 is the largest fraction.
📣 భిన్నాలను పోల్చడానికి, వాటి క.సా.గు (LCM) కనుగొనడం ద్వారా హారాలను సమానం చేయండి.
📣 $8, 16, 40,$8,16,40, మరియు $80$80 ల క.సా.గు $80$80.
📣 భిన్నాలను మార్చగా: $\frac{70}{80}, \frac{65}{80}, \frac{62}{80}, \frac{63}{80}$8070,8065,8062,8063.
📣 లవంలో అతిపెద్ద సంఖ్య $70$70, కాబట్టి $\frac{7}{8}$87 అనేది అతిపెద్ద భిన్నం.

Q:) Which of the following pairs are co-primes? | కింది జతలలో ఏవి పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-primes)? [RRB ALP | 2018]
A:) (14, 35) | (14, 35)
B:) (18, 25) | (18, 25)
C:) (31, 93) | (31, 93)
D:) (32, 62) | (32, 62)
:Correct: B
:ExpCorrect: 📣 Two numbers are considered co-prime if their Highest Common Factor (HCF) is $1$1.
📣 For $(14, 35)$(14,35), HCF is $7$7. For $(31, 93)$(31,93), HCF is $31$31. For $(32, 62)$(32,62), HCF is $2$2.
📣 For $(18, 25)$(18,25), the factors of $18$18 are $1, 2, 3, 6, 9, 18$1,2,3,6,9,18 and for $25$25 are $1, 5, 25$1,5,25. Their common factor is only $1$1.
📣 రెండు సంఖ్యల గరిష్ట సామాన్య భాజకం (HCF) $1$1 అయితే, వాటిని పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
📣 $(14, 35)$(14,35) కు గ.సా.భా $7$7, $(31, 93)$(31,93) కు $31$31, మరియు $(32, 62)$(32,62) కు $2$2.
📣 $(18, 25)$(18,25) కు ఉమ్మడి కారణాంకం $1$1 మాత్రమే. కాబట్టి ఇవి పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.

Q:) On dividing a number by $56$56, we get $29$29 as the remainder. On dividing the same number by $8$8, what will be the remainder? | ఒక సంఖ్యను $56$56 చేత భాగించినప్పుడు, శేషం $29$29 వస్తుంది. అదే సంఖ్యను $8$8 చేత భాగిస్తే, శేషం ఎంత వస్తుంది? [SSC CGL | 2020]
A:) 3 | 3
B:) 4 | 4
C:) 5 | 5
D:) 6 | 6
:Correct: C
:ExpCorrect: 📣 Let the number be $x$x. The problem states $x = 56k + 29$x=56k+29, where $k$k is an integer.
📣 We are asked to find the remainder when $x$x is divided by $8$8.
📣 Notice that $56k$56k is completely divisible by $8$8 (since $56 = 8 \times 7$56=8×7).
📣 Therefore, we just need to divide the remainder $29$29 by $8$8. $29 \div 8$29÷8 leaves a remainder of $5$5.
📣 ఆ సంఖ్యను $x$x అనుకుందాం. లెక్క ప్రకారం $x = 56k + 29$x=56k+29 అవుతుంది.
📣 ఆ సంఖ్య $x$x ను $8$8 చేత భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం కనుక్కోవాలి.
📣 $56k$56k అనేది $8$8 చేత పూర్తిగా భాగించబడుతుంది (ఎందుకంటే $56 = 8 \times 7$56=8×7).
📣 కాబట్టి, మనం పాత శేషం $29$29 ని $8$8 తో భాగిస్తే చాలు. $29$29 ని $8$8 తో భాగిస్తే శేషం $5$5 వస్తుంది.

Q:) If one-third of one-fourth of a number is $15$15, then three-tenth of that number is? | ఒక సంఖ్య యొక్క మూడవ వంతులో నాల్గవ వంతు $15$15 అయితే, ఆ సంఖ్య యొక్క పదవ వంతులో మూడు వంతులు ఎంత? [LIC AAO | 2019]
A:) 35 | 35
B:) 36 | 36
C:) 45 | 45
D:) 54 | 54
:Correct: D
:ExpCorrect: 📣 Let the number be $x$x.
📣 According to the given condition, $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times x = 15$31×41×x=15.
📣 $\frac{x}{12} = 15 \Rightarrow x = 15 \times 12 = 180$12x=15⇒x=15×12=180.
📣 Now, three-tenths of the number is $\frac{3}{10} \times 180 = 3 \times 18 = 54$103×180=3×18=54.
📣 ఆ సంఖ్యను $x$x అనుకుందాం.
📣 ఇచ్చిన షరతు ప్రకారం, $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times x = 15$31×41×x=15.
📣 $\frac{x}{12} = 15 \Rightarrow x = 15 \times 12 = 180$12x=15⇒x=15×12=180.
📣 ఇప్పుడు, ఆ సంఖ్యలో మూడు-పదో వంతు (three-tenths) $\frac{3}{10} \times 180 = 3 \times 18 = 54$103×180=3×18=54.

Q:) A number consists of two digits. The sum of the digits is $9$9. If $27$27 is subtracted from the number, its digits are reversed. Find the number. | ఒక సంఖ్య రెండు అంకెలను కలిగి ఉంటుంది. ఆ అంకెల మొత్తం $9$9. ఆ సంఖ్య నుండి $27$27 తీసివేస్తే, దాని అంకెలు తారుమారు అవుతాయి. ఆ సంఖ్యను కనుగొనండి. [State Group 2 | 2022]
A:) 36 | 36
B:) 45 | 45
C:) 63 | 63
D:) 72 | 72
:Correct: C
:ExpCorrect: 📣 Check the options. The sum of digits in all options is $9$9.
📣 Let’s test the second condition: subtract $27$27 from the number.
📣 Option C: $63 – 27 = 36$63−27=36. The digits of $63$63 reversed form $36$36.
📣 Hence, $63$63 is the correct number.
📣 ఎంపికలను పరిశీలించండి. అన్ని ఎంపికలలోని అంకెల మొత్తం $9$9.
📣 రెండవ షరతును పరీక్షిద్దాం: సంఖ్య నుండి $27$27 తీసివేయండి.
📣 ఎంపిక C: $63 – 27 = 36$63−27=36. $63$63 లోని అంకెలను తారుమారు చేస్తే $36$36 వస్తుంది.
📣 అందువల్ల, $63$63 సరైన సంఖ్య.

Q:) The least number which when divided by $5, 6, 7$5,6,7 and $8$8 leaves a remainder $3$3, but when divided by $9$9 leaves no remainder, is? | $5, 6, 7$5,6,7 మరియు $8$8 లచే భాగించినప్పుడు $3$3 శేషంగా వచ్చే మరియు $9$9 చేత భాగించినప్పుడు శేషం సున్నా వచ్చే అతి చిన్న సంఖ్య ఏది? [SSC CGL Mains | 2019]
A:) 1677 | 1677
B:) 1683 | 1683
C:) 2523 | 2523
D:) 3363 | 3363
:Correct: B
:ExpCorrect: 📣 The required number will be in the form of $(\text{LCM of } 5, 6, 7, 8)k + 3$(LCM of 5,6,7,8)k+3, where $k$k is an integer.
📣 LCM of $5, 6, 7, 8 = 840$5,6,7,8=840. So the number is $840k + 3$840k+3.
📣 We must find a value of $k$k such that $840k + 3$840k+3 is strictly divisible by $9$9.
📣 For $k=1$k=1: $843$843 (not divisible by 9). For $k=2$k=2: $1680 + 3 = 1683$1680+3=1683. Sum of digits is $18$18, so it is divisible by $9$9.
📣 అవసరమైన సంఖ్య $(\text{క.సా.గు } 5, 6, 7, 8)k + 3$(క.సా.గు 5,6,7,8)k+3 రూపంలో ఉంటుంది, ఇక్కడ $k$k అనేది పూర్ణాంకం.
📣 $5, 6, 7, 8$5,6,7,8 ల క.సా.గు $= 840$=840. కాబట్టి సంఖ్య $840k + 3$840k+3 అవుతుంది.
📣 ఆ సంఖ్య $9$9 చేత పూర్తిగా భాగించబడేలా మనం $k$k విలువను కనుక్కోవాలి.
📣 $k=1$k=1 అయితే: $843$843 (ఇది 9 చే భాగించబడదు). $k=2$k=2 అయితే: $1680 + 3 = 1683$1680+3=1683. దీని అంకెల మొత్తం $18$18, కాబట్టి ఇది $9$9 చే భాగించబడుతుంది.